考研数学总复习

无穷级数

数项级数审敛、幂级数收敛域与和函数、函数展开、傅里叶（数一）。

这一块要会什么

高频：正项级数审敛综合、交错级数与绝对收敛、幂级数和函数（逐项求导积分）、展开为幂级数。

通法

审敛决策树
何时用：判断数项级数敛散
1. 必要条件：通项不趋 0 → 发散，结束
2. 正项级数：比较（找 p）→ 比值（含 n! 或 $k^{n}$ ）→ 根值
3. 交错级数：莱布尼茨；再判绝对/条件收敛
易错：比值审敛 ρ=1 时失效，必须换比较审敛收尾。
幂级数求和函数
何时用：求 $\sum a_n x^n$ 的和函数
1. 先求收敛半径 R 与收敛域（端点单独判）
2. 形状像几何级数 → 直接套；像 $n x^{n - 1}$ → 逐项求导；像 $x^{n} / n$ → 逐项积分
3. 还原时收敛域要跟着改
易错：逐项求导/积分不改变收敛半径，但端点收敛性要重新检查。

典例

求 $\sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n - 1}$ （ $∣ x ∣ < 1$ ）的和函数。

几何级数： $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}$ 。
逐项求导： $\sum n x^{n - 1} = (\frac{1}{1 - x})^{'}$ 。
$= \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$ 。

收束：「n 次方配 n」就是求导信号。

要点清单

正项级数审敛
题面信号：判断敛散性
选择题高频
交错级数与绝对收敛
题面信号：「条件收敛 / 绝对收敛」
概念辨析
幂级数收敛域与和函数
题面信号：求收敛域 / 和函数
大题
傅里叶级数
题面信号：展开为傅里叶级数 / 收敛值
数一

专题巩固

读完通法后，在本专题内练一组题。仍停留在复习路径，不会跳进年级知识树。

本专题巩固（约 8 题）

本专题公式

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