基本导数表
，，，，
高数一切求导的地基，必背。
公式速查
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大学 · 一元微积分
求导四则法则
，
商法则分子顺序不能反。
链式法则
由外向内逐层求导，不漏层。
微分近似计算
$|\Delta x|$ 越小近似越好。
洛必达法则
仅用于 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型未定式。
泰勒公式
$x_0=0$ 时称麦克劳林公式。
常用麦克劳林展开
，
间接展开法的基础工具。
极值第二判定
且 时取极小值
$f''(x_0)<0$ 取极大；等于 0 时失效需另判。
基本积分表
，，
$n\neq -1$；别忘写 $+C$。
三角函数积分
，，
对偶记忆：积分是导数的逆。
分部积分
反三角、对数优先设为 $u$。
牛顿-莱布尼茨公式
$F$ 是 $f$ 的任意一个原函数。
变限积分求导
上限是函数时记得乘链式因子。
反常积分 p 判别
当 收敛
$p\le 1$ 发散；下限情形 $p<1$ 收敛。
旋转体体积
绕 $x$ 轴旋转的圆盘法。
大学 · 多元微积分与级数方程
偏导数
：把 当常数对 求导
求 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ 时反过来。
练 5 题 →全微分
偏导连续才可微。
练 5 题 →多元极值判别
且 时取极小值
$AC-B^2<0$ 非极值；$=0$ 失效。
练 5 题 →拉格朗日乘数法
联立 $L_x=L_y=L_\lambda=0$ 解条件极值。
练 5 题 →二重积分（直角坐标）
先画区域再定限。
练 5 题 →二重积分（极坐标）
雅可比 $\rho$ 别丢。
练 5 题 →级数收敛必要条件
收敛
通项不趋 0 必发散；反之不成立。
练 5 题 →几何级数
（）
$|q|\ge 1$ 时发散。
练 5 题 →p-级数
： 收敛， 发散
$p=1$ 调和级数发散是常考反例。
练 5 题 →比值审敛法
， 收敛
$\rho=1$ 时失效，换比较判别法。
练 5 题 →一阶线性方程通解
对应 $y'+P(x)y=Q(x)$。
练 5 题 →二阶常系数特征方程
， 时
重根乘 $x$；共轭复根化三角。
练 5 题 →大学 · 线性代数
二阶行列式
主对角线乘积减副对角线乘积。
练 5 题 →行列式基本性质
变号； 不变值；两行相同则为
倍加变换是化简的核心工具。
练 5 题 →克拉默法则
（）
$D_j$ 是把第 $j$ 列换成常数列。
练 5 题 →矩阵乘法
$A$ 的列数须等于 $B$ 的行数；无交换律。
练 5 题 →逆矩阵公式
（）
$A^*$ 元素是代数余子式且按转置排。
练 5 题 →逆的运算律
，
顺序要反过来。
练 5 题 →秩判定解
时唯一解
$r(A)<r(\bar A)$ 无解；相等且 $<n$ 无穷解。
练 5 题 →线性相关判定
向量组线性相关 以其为列的矩阵秩小于个数
含零向量必相关。
练 5 题 →特征值方程
根是特征值；对应齐次组的非零解是特征向量。
练 5 题 →可对角化条件
有 个线性无关特征向量 可对角化
每个 $k$ 重特征值需 $n-r(A-\lambda E)=k$。
练 5 题 →实对称阵性质
特征值全为实数；不同特征值的特征向量正交
必可正交对角化。
练 5 题 →正定判定
顺序主子式全 正定
等价于特征值全正。
练 5 题 →二次型标准形
正交变换下系数即特征值。
练 5 题 →大学 · 概率论与数理统计
组合数
古典概型计数的核心工具。
练 5 题 →条件概率与乘法公式
，
「在 A 前提下」就是除以 $P(A)$。
练 5 题 →全概率公式
$\{A_i\}$ 须完备：互斥且并为 $\Omega$。
练 5 题 →贝叶斯公式
分母就是全概率。
练 5 题 →二项分布
$E=np$，$D=np(1-p)$。
练 5 题 →泊松分布
$E=D=\lambda$。
练 5 题 →均匀分布
（）
$E=\dfrac{a+b}{2}$，$D=\dfrac{(b-a)^2}{12}$。
练 5 题 →指数分布与无记忆性
，
$E=1/\lambda$，$D=1/\lambda^2$。
练 5 题 →正态分布标准化
$\Phi(-x)=1-\Phi(x)$。
练 5 题 →期望与方差的简化公式
$D(aX+b)=a^2D(X)$。
练 5 题 →协方差与相关系数
，
独立 ⇒ 不相关，反之不然。
练 5 题 →中心极限定理
和 $\approx N(n\mu,n\sigma^2)$。
练 5 题 →样本均值与样本方差
分母 $n-1$ 保证无偏。
练 5 题 →正态总体的抽样分布
，
$\bar X$ 与 $S^2$ 相互独立。
练 5 题 →均值的置信区间
（ 未知换 ）
宽度 $\propto 1/\sqrt n$。
练 5 题 →Z 检验统计量
$|Z|>z_{1-\alpha/2}$ 拒绝 $H_0$。
练 5 题 →大学 · 向量代数与曲线曲面积分
向量模与单位向量
，
方向余弦平方和为 1。
练 5 题 →数量积与夹角
点积为零即垂直。
练 5 题 →向量积
模为平行四边形面积，方向右手定则。
练 5 题 →平面点法式
法向量 $(A,B,C)$；一般式系数同。
练 5 题 →点到平面距离
分子代点、分母法向量模。
练 5 题 →直线的对称式
$(m,n,p)$ 为方向向量；分母 0 表坐标固定。
练 5 题 →旋转面方程
曲线 绕 轴：
转轴不变，另一变量平方搬家。
练 5 题 →方向导数与梯度
，
梯度方向增长最快、垂直等值线。
练 5 题 →柱面坐标三重积分
圆域投影必备，别丢 r。
练 5 题 →质心与转动惯量
，
均匀密度即形心。
练 5 题 →弧微分
第一类曲线积分化定积分的桥梁。
练 5 题 →格林公式
L 取正向（区域在左手边）。
练 5 题 →高斯公式
封闭曲面取外侧；非封闭先补面。
练 5 题 →斯托克斯公式
曲线与曲面方向按右手定则配套。
练 5 题 →大学 · 复变函数与积分变换
欧拉公式与三种表示
$e^{i\pi}+1=0$。
练 5 题 →复数乘除的模与辐角
，
模相乘除、辐角相加减。
练 5 题 →柯西-黎曼方程
补偏导连续才充分。
练 5 题 →复指数的周期
$|e^z|=e^{\mathrm{Re}\,z}>0$ 无零点。
练 5 题 →对数函数的多值
原点与 ∞ 是支点。
练 5 题 →复积分的参数化
别忘了乘 $z'(t)$。
练 5 题 →柯西-古萨定理
（C 内部及 C 上解析）
单连通 + 无奇点。
练 5 题 →柯西积分公式
$z_0$ 须在 C 内部。
练 5 题 →高阶导数公式
分母幂次 n+1 配 n 阶导。
练 5 题 →收敛半径
圆内绝对收敛、圆周逐点判。
练 5 题 →洛朗级数
（圆环内）
负幂主部藏奇点信息。
练 5 题 →留数定理
只算 C 内部的奇点。
练 5 题 →单极点留数
m 阶极点求 m−1 阶导。
练 5 题 →三角积分换元
，，
单位圆上的留数问题。
练 5 题 →傅里叶变换对
，
矩形脉冲 ↔ Sa 函数。
练 5 题 →傅氏微分性质
求导 = 高通滤波。
练 5 题 →拉氏变换对与微分性质
，
初值自动入账。
练 5 题 →大学 · 离散数学
蕴含的真值要点
仅当 真且 假时为假
前件假 = 善意推定为真。
练 5 题 →蕴含化折
化折后德摩根与分配律通用。
练 5 题 →蕴含的否定
唯一为假的情形原样保留。
练 5 题 →量词否定
翻转量词 + 否定内核。
练 5 题 →分离规则
对应「肯定前件」。
练 5 题 →对称差
恰属其一的元素集合。
练 5 题 →等价类
，
等价类不重不漏构成划分。
练 5 题 →组合恒等式（帕斯卡）
杨辉三角的构造规则。
练 5 题 →容斥原理（两集合）
三集合：加、减、加回。
练 5 题 →握手定理
奇度顶点必为偶数个。
练 5 题 →欧拉回路条件
\text{连通且所有顶点度为偶数}
恰 2 个奇度点 = 欧拉通路。
练 5 题 →邻接矩阵的幂
A² 对角元 = 度数。
练 5 题 →树的边数
\text{n 个顶点的树恰有 } n-1 \text{ 条边}
生成树 = 全顶点的树。
练 5 题 →哈夫曼树 WPL
每次合并当前最小的两个权。
练 5 题 →