考研数学总复习

概率 · 随机变量与数字特征

分布函数与密度、八大常见分布、期望方差协方差、独立与不相关。

这一块要会什么

高频：求分布 / 密度、正态标准化、期望方差计算（含函数的期望）、独立性与相关性判定。

通法

求分布的两条路
何时用：给场景求分布
1. 离散：列分布律（验证归一）
2. 连续：先求 F(x)（分段累积）， $f = F^{'}$
3. 含「至少/至多」先转区间概率
易错：连续型单点概率为 0，区间开闭不影响结果但过程要写对。
期望方差速查链
何时用：数字特征计算
1. 识别分布 → 查表得 E、D
2. 线性变换：E 相乘加、D 系数平方
3. $D (X) = E (X^{2}) - (E X)^{2}$ 兜底
易错：E(XY)=EX·EY 需要不相关，不能无脑拆。

典例

X~N(2,4)，求 $P {0 < X \leq 4}$ （Φ(1)=0.8413）。

标准化： $Z = (X - 2) /2$ 。
$P {0 < X \leq 4} = P {- 1 < Z \leq 1}$ 。
$= 2Φ (1) - 1 = 0.6826$ 。

收束：对称区间用 $2Φ (a) - 1$ 秒算。

要点清单

求分布与概率
题面信号：给场景求分布 / 概率
大题第一问
正态分布计算
题面信号：N(μ,σ²) 与查表
必考小题
期望方差
题面信号：求 E、D 或应用
高频
独立与相关
题面信号：判断独立 / 相关系数
概念题

专题巩固

读完通法后，在本专题内练一组题。仍停留在复习路径，不会跳进年级知识树。

本专题巩固（约 8 题）

本专题公式

需要翻公式时 → 大学公式速查

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