考研数学总复习

微分方程

一阶方程识别、二阶常系数齐次与非齐次、应用题建模。

这一块要会什么

高频：一阶线性套公式、二阶常系数待定系数（含

e^{λ x}

叠加）、几何/物理应用建模。

通法

一阶方程识别流
何时用：拿到一阶微分方程
1. 可分离变量？→ 分离积分
2. 齐次 $y^{'} = φ (y / x)$ ？→ 令 $u = y / x$
3. 一阶线性 $y^{'} + P y = Q$ ？→ 公式或常数变易
易错：把 x 当 y 的函数有时更顺（ $x^{'} = \dots$ ），别死磕 y。
二阶常系数特解设定
何时用：$y''+py'+qy=f(x)$ 的特解
1. $f = e^{λ x} P_{m} (x)$ ：设 $y^{*} = x^{k} e^{λ x} Q_{m} (x)$ ，λ 是特征根则 k 取重数
2. $f = cos ω x$ 型：设 $A cos + B sin$ 组合
3. 叠加原理：f 是和就分项设
易错：λ 恰为特征单根时少乘一个 x，是最高频错误。

典例

求 $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = x e^{x}$ 的通解形式要点。

特征方程 $r^{2} - 3 r + 2 = 0$ ， $r = 1, 2$ 。
齐次通解 $C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x}$ 。
λ=1 是单根：特解设 $y^{*} = x (a x + b) e^{x}$ 。

收束：先齐次后特解；λ 与特征根的重数决定乘 x 的次数。

要点清单

一阶方程求解
题面信号：可分离 / 齐次 / 一阶线性
基本功
二阶常系数
题面信号：求通解 / 特解
大题常客
应用建模
题面信号：几何 / 变化率描述
压轴应用

专题巩固

读完通法后，在本专题内练一组题。仍停留在复习路径，不会跳进年级知识树。

本专题巩固（约 8 题）

本专题公式

需要翻公式时 → 大学公式速查

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