考研数学总复习

多元函数微分学

偏导全微分、复合与隐函数、极值与条件极值、方向导数梯度。

这一块要会什么

高频：抽象复合函数二阶偏导、隐函数求导、无条件/条件极值（拉格朗日）、梯度与方向导数（数一）。

通法

抽象复合函数二阶偏导
何时用：$z=f(u,v)$ 与 $u(x,y),v(x,y)$ 复合
1. 记号先行： $f_{1}^{'}, f_{2}^{'}$ 仍是复合函数
2. 一阶偏导按链式法则写全
3. 二阶求导时对 $f_{1}^{'}, f_{2}^{'}$ 再用链式——不要漏层
易错： $f_{12}^{''} = f_{21}^{''}$ 可交换，但求导路径不能乱。
条件极值·拉格朗日
何时用：求 $f$ 在约束 $\varphi=0$ 下的极值
1. 构造 $L = f + λ φ$
2. 联立 $L_{x} = L_{y} = L_{λ} = 0$
3. 解出候选点后按实际意义或比较判别
易错：λ 的方程常被漏列；多约束时每个约束一个 λ。

典例

求 $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ 在约束 $x + y = 1$ 下的最小值。

$L = x^{2} + y^{2} + λ (x + y - 1)$ 。
$L_{x} = 2 x + λ = 0, L_{y} = 2 y + λ = 0, L_{λ} = x + y - 1 = 0$ 。
解得 $x = y = \frac{1}{2}$ ， $f_{m i n} = \frac{1}{2}$ 。

收束：对称约束常常给对称解，可用来验算。

要点清单

抽象复合函数偏导
题面信号：f(u,v) 与 u(x,y) 复合
大题第一问常客
隐函数求导
题面信号：F(x,y,z)=0 求偏导或切平面
含切平面（数一）
无条件与条件极值
题面信号：求极值 / 在约束下求最值
大题
方向导数与梯度
题面信号：「沿某方向的方向导数」
数一专属小题

专题巩固

读完通法后，在本专题内练一组题。仍停留在复习路径，不会跳进年级知识树。

本专题巩固（约 8 题）

本专题公式

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