考研数学总复习

重积分

二重积分定限与换序、极坐标、三重积分与柱面坐标、应用。

这一块要会什么

高频：交换积分次序、对称性奇偶简化、极坐标/柱面坐标选择、质心（数一）。

通法

换序三步
何时用：交换累次积分次序
1. 由原限画出区域 D
2. 按新次序重新定限
3. 检查被积函数在新次序下是否更好算
易错：画图定限是唯一正道——纯代数挪限必错。
坐标系选择
何时用：二重 / 三重积分
1. 圆域 / 含 $x^{2} + y^{2}$ → 极坐标（柱面）
2. 被积函数或区域含 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ → 球面坐标（数一）
3. 长方形区域 → 直角坐标
易错：极坐标 / 柱面坐标必乘 r，球面坐标乘 $r^{2} sin φ$ 。

典例

交换次序： $\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} f (x, y) d y$ 。

区域： $0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq 1$ ，即 y 在上、x 在下的三角形。
换为先 x 后 y： $0 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq y$ 。
$= \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f d x$ 。

收束：先画三角形，限一眼写出。

要点清单

交换次序与计算
题面信号：「交换积分次序并计算」
高频大题
极坐标计算
题面信号：圆域或含 x²+y²
圆域标配
三重积分
题面信号：立体区域上的积分
数一
质心与转动惯量
题面信号：求质心 / 转动惯量
数一应用

专题巩固

读完通法后，在本专题内练一组题。仍停留在复习路径，不会跳进年级知识树。

本专题巩固（约 8 题）

本专题公式

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