线代 · 行列式、矩阵与向量组

这一块要会什么

通法

• 抽象行列式三板斧

  何时用：给 |A| 求相关的行列式

  1. 性质搬运：$|AB|=|A||B|$、$|A^T|=|A|$、$|kA|=k^n|A|$、$|A^{-1}|=1/|A|$
  2. 伴随：$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$
  3. 特征值法：$|A|=\prod {\lambda }_i$

  易错：$|kA|=k^n|A|$ 的 n 次方是最爱考的坑。

• 解的判定一根筋

  何时用：含参方程组解的讨论

  1. 行变换化行最简形（含参时注意不能除以含参式）
  2. $r(A)$ vs $r(A|b)$：等且 =n 唯一、等且
  3. 含参分类：让秩变化的参数值单独讨论

  易错：含参消元时用含参式除了一行，会丢解。

典例

要点清单

• 抽象行列式

  题面信号：给 |A| 求 |…|

  选择高频

• 秩与方程组解

  题面信号：含参方程组解的讨论

  大题

• 向量组相关性

  题面信号：判断 / 证明线性相关

  证明题

专题巩固

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