考研数学总复习

极限与连续

数列与函数极限、洛必达、泰勒比阶——考研每年必考的计算主干。

这一块要会什么

高频：

\infty - \infty

型化形、泰勒展开比阶、无穷小比较、间断点分类；选择+大题各一道是常态。

通法

未定式三板斧
何时用：0/0、∞/∞、∞−∞ 等未定式极限
1. 先判型：能等价无穷小替换的直接替换（乘除因子放心换）
2. 洛必达：分母求导后不复杂的用，用前验证是 0/0 或 ∞/∞
3. 泰勒比阶：含 $e^{x}, sin x, ln (1 + x)$ 与多项式混合时，展开到不留未定式的最低阶
易错：加减结构里做等价无穷小替换是经典丢分点——加减只能用带皮亚诺余项的泰勒。
间断点分类
何时用：找间断点并判断类型
1. 找无定义点与分段点
2. 算左右极限
3. 都存在→可去（相等）或跳跃（不等）；有∞→无穷间断；振荡→振荡间断
易错：可去间断点要「补充定义」的表述题别只写类型不写理由。

典例

求 $lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - sin x - 1}{x ^{2}}$ 。

泰勒： $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ ， $sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ 。
分子 $= (1 + x + \frac{x ^{2}}{2}) - x - 1 + o (x^{2}) = \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ 。
极限 $= \frac{1}{2}$ 。

收束：加减结构一律泰勒到位，比等价替换安全。

要点清单

未定式极限计算
题面信号：题面直接给 lim 表达式
考计算基本功
无穷小比阶
题面信号：「与 $x^{k}$ 同阶/高阶」
选择题高频
连续与间断点
题面信号：含绝对值 / 分段 / 参数
分段函数讨论

专题巩固

读完通法后，在本专题内练一组题。仍停留在复习路径，不会跳进年级知识树。

本专题巩固（约 8 题）

本专题公式

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