一元积分学

这一块要会什么

通法

• 积分选路

  何时用：拿到一个不定积分

  1. 看结构：三角有理式→万能或恒等变形；根式→三角换元或整体换元
  2. 两类不同函数相乘→分部积分（反、对、幂、三、指 排序定 u）
  3. 有理函数→部分分式拆项

  易错：分部积分做两次后回到原式的「循环积分」，别忘了移项解方程。

• 对称性省力术

  何时用：对称区间上的定积分

  1. 奇函数对称区间直接得 0
  2. 偶函数取半再翻倍
  3. ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^n={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^n$ 用点火公式

  易错：对称区间先查被积函数是否奇偶，硬算三倍功夫。

典例

要点清单

• 不定积分计算

  题面信号：直接给不定积分

  基本功

• 定积分与对称性

  题面信号：对称区间 / 三角幂

  选择填空

• 反常积分

  题面信号：积分限含 ∞ 或瑕点

  敛散与计算

• 面积与旋转体

  题面信号：求面积 / 绕轴旋转体积

  应用大题

专题巩固

本专题公式