考研数学总复习

导数与应用 · 中值定理

单调极值凹凸、不等式证明、中值定理构造——证明题的兵家必争。

这一块要会什么

高频：含参函数单调与零点、不等式证明（构造辅助函数）、中值定理存在性证明。

通法

中值定理构造法
何时用：证明存在 ξ 使某等式成立
1. 把 ξ 换成 x，识别等式结构
2. 凑成 $F^{'} (x) = 0$ 的形式（常用：乘 $e^{k x}$ 、移项构造原函数）
3. 验证罗尔条件（端点值相等）后下结论
易错：结论里有两个中值时考虑柯西中值定理；别把拉格朗日当万能。
不等式证明三路
何时用：证 $f(x)>g(x)$ 型不等式
1. 移项构造 $h = f - g$ ，看端点与单调性
2. 必要时可再求导（二阶判凹凸）
3. 含参数时分离参数求最值
易错：只证单调不查端点值，等于没证。

典例

证明：当 $x > 0$ 时， $ln (1 + x) > \frac{x}{1 + x}$ 。

构造 $h (x) = ln (1 + x) - \frac{x}{1 + x}$ ， $h (0) = 0$ 。
$h^{'} (x) = \frac{x}{( 1 + x ) ^{2}} > 0$ （ $x > 0$ ）。
$h$ 单调增且 $h (0) = 0$ ，故 $h (x) > 0$ 。

收束：移项构造 + 单调性 + 端点锚定，三件套闭环。

要点清单

中值定理存在性证明
题面信号：「存在 ξ 使…」
大题压轴常客
单调·极值·凹凸
题面信号：含参数 a 的函数性质讨论
含参讨论
不等式证明
题面信号：「证明当 x>0 时…」
构造函数
高阶导数与曲率
题面信号：求 $f^{(n)}$ 或曲率半径
小题

专题巩固

读完通法后，在本专题内练一组题。仍停留在复习路径，不会跳进年级知识树。

本专题巩固（约 8 题）

本专题公式

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