公式速查

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当前学段 74 条 · 与「数泡泡成长」小程序公式速查同源

高中 · 函数与指数对数

指数运算

a^{r} \cdot a^{s} = a^{r + s}

；

(a^{r})^{s} = a^{r s}

；

a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}

根式与分数指数幂互化；$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$（$a\ne 0$）。

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对数运算

lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N

；

lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N

；

lo g_{a} M^{n} = n lo g_{a} M

$a^{\log_aN}=N$；真数必须为正。

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换底公式

lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}

$\log_ab\cdot\log_ba=1$；$\log_{a^m}b^n=\dfrac{n}{m}\log_ab$。

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函数奇偶性

偶函数：

f (- x) = f (x)

；奇函数：

f (- x) = - f (x)

定义域须关于原点对称；奇函数若 0 在定义域内则 $f(0)=0$。

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导数的定义

f^{'} (x_{0}) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x}

导数是平均变化率的极限；几何意义是曲线在该点切线的斜率。

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基本初等函数导数表

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

；

(sin x)^{'} = cos x

；

(cos x)^{'} = - sin x

；

(e^{x})^{'} = e^{x}

；

(a^{x})^{'} = a^{x} ln a

；

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

；

(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x ln a}

与四则法则、链式法则组合使用；复合函数先分层再由外向内求。

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微积分基本定理（定积分）

\int_{a}^{b} F^{'} (x) d x = F (b) - F (a)

；例：

\int_{a}^{b} x^{n} d x = \frac{b ^{n + 1} - a ^{n + 1}}{n + 1}

（

n \neq = - 1

）

求定积分先找原函数 $F$；适用旧高考理科与相关考区。

对数恒等式

a^{l o g_{a} N} = N

；

lo g_{a} a^{N} = N

对数与指数互为逆运算，两个恒等式可互推。

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高中 · 数列

等差数列

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

；

S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}

公差 d 恒定；$S_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d$ 也常用。

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等比数列

a_{n} = a_{1} q^{n - 1}

；

S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}

（

q \neq = 1

）

$|q|<1$ 无穷递缩 $S=\dfrac{a_1}{1-q}$。

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等差中项

2 b = a + c

a、b、c 成等差。

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等比中项

b^{2} = a c

（同号）

注意符号与零项。

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错位相减

求和：

S_{n} = \sum a_{k} b_{k}

，

b_{k}

为等差时两式相减

通项含 $n\cdot q^n$ 时常用。

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裂项相消

\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

中间项成对抵消。

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通项与前 n 项和

a_{n} = S_{1}

（

n = 1

）；

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

（

n \geq 2

）

已知 $S_n$ 求通项；结果要回代验证 $n=1$。

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高中 · 三角与解三角形

正弦定理

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

边与对角正弦成正比。

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余弦定理

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

已知两边夹角求第三边。

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三角恒等

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

；

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}

降幂、辅助角常配合用。

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两角和差

sin (A \pm B) = sin A cos B \pm cos A sin B

$\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B$。

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二倍角

sin 2 α = 2 sin α cos α

；

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α

还有 $1-2\sin^2\alpha$、$2\cos^2\alpha-1$。

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三角形面积

S = \frac{1}{2} ab sin C

两边及其夹角。

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辅助角

a sin x + b cos x = a^{2} + b^{2} sin (x + φ)

求周期、最值、单调时常用。

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弧度制与扇形

l = ∣ α ∣ r

；

S = \frac{1}{2} l r = \frac{1}{2} ∣ α ∣ r^{2}

$180°=\pi$ rad；$\alpha$ 为弧度制圆心角。

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诱导公式

sin (π - α) = sin α

，

cos (π - α) = - cos α

，

sin (- α) = - sin α

口诀：奇变偶不变，符号看象限。

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y=Asin(ωx+φ)

T = \frac{2 π}{∣ ω ∣}

；振幅

∣ A ∣

，初相

φ

先化为此形式（辅助角）再读周期与最值。

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正切和差与二倍角

tan (A \pm B) = \frac{tan A \pm tan B}{1 \mp tan A tan B}

；

tan 2 α = \frac{2 tan α}{1 - tan ^{2} α}

分母符号与分子相反；必考。

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降幂公式

sin^{2} α = \frac{1 - cos 2 α}{2}

；

cos^{2} α = \frac{1 + cos 2 α}{2}

升角降幂，三角化简与求周期必用。

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高中 · 函数导数

导数四则

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

；

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

复合函数记得链式法则。

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基本导数

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

；

(e^{x})^{'} = e^{x}

；

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

$\sin' =\cos$，$\cos'=-\sin$。

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极值判定

f^{'}

变号：

+ \to -

极大；

- \to +

极小

先求驻点再看左右导数符号。

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单调性

f^{'} > 0

递增；

f^{'} < 0

递减

在区间上讨论，注意端点与不可导点。

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链式法则

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

先认外层函数再求导。

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切线方程

y - y_{0} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

切线斜率 $f'(x_0)$。

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高中 · 向量与解析几何

向量数量积

a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ

垂直时数量积为 0。

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向量模

∣ a ∣^{2} = a \cdot a

坐标：$|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}$。

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直线点斜式

y - y_{0} = k (x - x_{0})

垂直直线斜率之积为 $-1$（存在时）。

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圆的标准方程

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

圆心 $(a,b)$，半径 $r$。

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椭圆

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

（

a > b > 0

）

$c^2=a^2-b^2$，离心率 $e=c/a$。

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双曲线

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

$c^2=a^2+b^2$，渐近线 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$。

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抛物线

y^{2} = 2 p x

（开口向右）

焦点 $(p/2,0)$，准线 $x=-p/2$；焦点弦：$x_1x_2=\dfrac{p^2}{4}$，$y_1y_2=-p^2$。

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弦长公式

∣ A B ∣ = 1 + k^{2} ∣ x_{1} - x_{2} ∣

直线 $y=kx+b$ 与曲线联立后用韦达。

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向量坐标运算

a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

；平行

\Leftrightarrow x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0

；垂直

\Leftrightarrow x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0

平行用交叉相减，垂直用对应相乘相加，别混。

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两点距离与中点

∣ P_{1} P_{2} ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

；中点

(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

解析几何求距离、对称点的根基。

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点到直线距离

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}

直线先化一般式；两平行线间距离也用此式。

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直线与圆的位置关系

d < r

相交；

d = r

相切；

d > r

相离；相交弦长

2 r^{2} - d^{2}

$d$ 为圆心到直线的距离。

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圆的一般方程

x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0

（

D^{2} + E^{2} - 4 F > 0

）

配方得标准式；圆心 $\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)$。

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两直线平行与垂直

l_{1} ∥ l_{2} \Leftrightarrow k_{1} = k_{2}

；

l_{1} ⊥ l_{2} \Leftrightarrow k_{1} k_{2} = - 1

一般式垂直 $\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2=0$；注意斜率不存在的情形。

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高中 · 立体几何

柱体体积

V = S h

（

S

为底面积）

棱柱、圆柱通用。

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锥体体积

V = \frac{1}{3} S h

圆锥、棱锥同形。

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二面角

cos θ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣}

法向量夹角或其补角。

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点面距离

d = \frac{∣ n \cdot A P ∣}{∣ n ∣}

建系后用法向量。

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球的表面积与体积

S = 4 π R^{2}

；

V = \frac{4}{3} π R^{3}

外接球问题：先找球心与半径。

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圆柱与圆锥侧面积

圆柱侧面积

= 2 π r l

；圆锥侧面积

= π r l

展开成矩形与扇形；$l$ 为母线（圆柱中为高）。

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线面角

sin θ = \frac{∣ n \cdot l ∣}{∣ n ∣∣ l ∣}

$\vec n$ 为法向量、$\vec l$ 为方向向量；范围 $[0,\dfrac{\pi}{2}]$。

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高中 · 不等式与复数

基本不等式

\frac{a + b}{2} \geq ab

（

a, b > 0

）

一正二定三相等。

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和定积最大

若

x + y = S

（定值），则

x y \leq \frac{S ^{2}}{4}

当 $x=y$ 时取等。

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复数模

∣ z ∣ = ∣ a + bi ∣ = a^{2} + b^{2}

$z\bar z=|z|^2$。

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复数运算

(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i

除法有理化分母。

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共轭复数

z = a + b i

的共轭

\overline{z} = a - b i

；

z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}

共轭复数实部相等、虚部互为相反数；几何上关于实轴对称。

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虚数单位 i 的周期性

i^{4 k} = 1

，

i^{4 k + 1} = i

，

i^{4 k + 2} = - 1

，

i^{4 k + 3} = - i

计算 i 的高次幂：指数除以 4 取余数定结果。

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高中 · 概率统计

排列组合

A_{n}^{m} = \frac{n !}{( n - m )!}

；

C_{n}^{m} = \frac{n !}{m ! ( n - m )!}

排列讲顺序，组合不讲顺序；$C_n^m=C_n^{n-m}$。

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独立事件

P (A B) = P (A) P (B)

互斥用加法：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$。

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二项分布

P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

；

E (X) = n p

，

D (X) = n p (1 - p)

n 次独立重复，成功概率 p。

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期望方差

E (X) = \sum x_{i} p_{i}

；

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

线性：$E(aX+b)=aE(X)+b$；$D(aX+b)=a^2D(X)$。

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条件概率

P (B ∣ A) = \frac{P ( A B )}{P ( A )}

先明确条件事件。

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全概率公式

P (A) = \sum P (A ∣ B_{i}) P (B_{i})

$B_i$ 构成完备事件组。

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回归斜率

\hat{b} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ( y _{i} - y ˉ )}{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}

截距 $\hat a=\bar y-\hat b\bar x$；回归直线必过点 $(\bar x,\bar y)$。

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二项式定理

(a + b)^{n} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

；通项

T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

求指定项：先列通项，再定 $k$。

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超几何分布

P (X = k) = \frac{C _{M}^{k} C _{N - M}^{n - k}}{C _{N}^{n}}

$N$ 件中 $M$ 件次品，任取 $n$ 件；不放回抽样的分布。

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正态分布

P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827

；

P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545

；

P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973

图象关于 $x=\mu$ 对称；$P(X\le\mu)=0.5$。

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样本相关系数

r = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ( y _{i} - y ˉ )}{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2} \sum ( y _{i} - y ˉ ) ^{2}}

$|r|\le1$；$|r|$ 越接近 1，线性相关越强。

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独立性检验 χ²

χ^{2} = \frac{n ( a d - b c ) ^{2}}{( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d )}

$\chi^2$ 越大，认为两变量有关的把握越大。

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百分位数

第 p 百分位数：按从小到大排列，至少有

p %

的数据不超过它

按位置数，不是简单平均；$p=50$ 即中位数。

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分类加法与分步乘法

分类完成：

N = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}

；分步完成：

N = m_{1} \times m_{2} \times \dots \times m_{n}

先判断「分类」（任选一类即完成，相加）还是「分步」（逐步都完成，相乘）。

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