高考总复习

函数与导数

单调性、极值最值、含参讨论——函数性质与导数应用通法。

这一块要会什么

高考高频考法：切线、单调区间、极值最值、恒成立与零点个数；压轴常含参分类。主干地位稳定，但各年分值浮动——以本库卷面统计为准（建设中）。

通法

  • 通法四步

    何时用：求单调区间、极值、闭区间最值

    1. 求导
    2. 判号（因式分解 / 配方）
    3. 列表标增减
    4. 端点与驻点比大小（闭区间必比端点）

    易错：f′(x0)=0f'(x_0)=0 两侧同号时不是极值；漏端点直接丢最值分。

  • 含参怎么切

    何时用：导函数含参、零点个数或位置随参变

    1. 先看 f′(x)f'(x) 零点是否在定义域
    2. 再看零点个数是否随参变
    3. 按「零点位置 / 导函数符号」分类，不要一上来扫全部参数

    易错：分类标准飘忽，漏讨论斜率不存在或定义域端点。

  • 恒成立与存在

    何时用：题干出现「对任意」「存在」「恒成立」

    1. 分清「对任意」还是「存在」
    2. 恒成立常化为最值：分离参数后看 g(x)min⁡g(x)_{\min} 或 g(x)max⁡g(x)_{\max}
    3. 存在则看区间是否有交

    易错：把「存在」做成「恒成立」，或分离参数时定义域缩错。

  • 切线与几何

    何时用：求切线方程、切点、过定点的切线

    1. 切线斜率 =f′(x0)=f'(x_0)
    2. 点斜式写出方程
    3. 若过定点，用待定切点列方程

    易错：把函数值当成斜率；切点不在曲线上。

典例

求 f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x 的极值，并说明在 [−2,2][-2,2] 上的最大值。

  1. f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)，驻点 x=±1x=\pm 1。
  2. 列表：(−∞,−1)(-\infty,-1) 增，(−1,1)(-1,1) 减，(1,+∞)(1,+\infty) 增 → x=−1x=-1 极大 f(−1)=2f(-1)=2，x=1x=1 极小 f(1)=−2f(1)=-2。
  3. 闭区间再比端点：f(−2)=−2f(-2)=-2，f(2)=2f(2)=2。故 [−2,2][-2,2] 上最大值为 22（取自极大点与右端点）。

收束：极值看变号；最值 = 极值候选 + 端点，一个都不能少。

要点清单

  • 定义域 · 值域 · 性质

    题面信号：求定义域 / 奇偶 / 对称 / 值域

    先定域，再谈奇偶、对称、周期性；值域常配合单调性。

  • 导数几何意义

    题面信号：切线、切点、瞬时变化率

    切线斜率 =f′(x0)=f'(x_0)；会写切线方程。

  • 单调性 · 极值 · 最值

    题面信号：单调区间、极值点、闭区间最值

    通法四步；端点与驻点一起比。

  • 含参讨论

    题面信号：含参、零点个数、恒成立

    分类讨论参数；注意导数零点个数与量词。

  • 求导法则与复合

    题面信号：基本初等函数求导、复合函数求导

    先认外层再链式法则；常数与积商差要算准。

  • 幂 · 指数 · 对数

    题面信号：幂函数、指数对数性质与图像

    底数分类看单调；对数真数>0。

专题巩固

本专题公式

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