高考总复习

解析几何

直线圆圆锥曲线——建系、联立、韦达与范围讨论。

这一块要会什么

高考高频考法：弦长、焦点弦、离心率范围、直线与圆锥曲线位置。通法是「设直线 → 联立 → 韦达 → 几何条件翻译成代数」。分值各年浮动，统计建设中。

通法

联立标准动作
何时用：直线与圆 / 圆锥曲线求交点、弦、位置关系
1. 直线常设 $x = m y + t$ 或 $y = k x + b$ （斜率不存在单独讨论）
2. 代入曲线，整理成二次方程
3. 用 $Δ$ 、韦达翻译几何条件
易错：斜率不存在漏讨论；联立后漏 $Δ$ 。
弦长与中点
何时用：求弦长、中点弦、焦点弦
1. 先分清中点弦还是焦点弦
2. 弦长常用 $1 + k^{2} ∣ x_{1} - x_{2} ∣$ （或对 $y$ ）
3. 中点弦用点差法；焦点弦优先定义 / 焦半径
易错：中点弦与焦点弦方法混用。
范围与离心率
何时用：求 $e$ 的取值范围、参数范围
1. 几何条件 → 关于 $e$ 或参数的不等式
2. 补上定义域（ $0 < e < 1$ / $e > 1$ 等）
3. 别忘 $Δ \geq 0$
易错：只写几何不等式，漏离心率定义域。

典例

椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ ，过右焦点 $F$ 的弦被 $F$ 平分吗？说明理由，并写出焦点弦长公式思路。

$a^{2} = 4, b^{2} = 3, c = 1$ ，右焦点 $F (1, 0)$ 。焦点一般不在弦中点（除特殊情形），中点弦与焦点弦勿混淆。
焦点弦：设直线 $x = m y + 1$ ，联立椭圆得关于 $y$ 的方程，用韦达求 $∣ A B ∣ = 1 + m^{2} ∣ y_{1} - y_{2} ∣$ 。
也可用焦半径： $∣ A F ∣ = a + e x_{A}$ 等（椭圆），两焦半径相加即弦长。

收束：先分清「中点弦」还是「焦点弦」，再选点差法或焦半径/韦达。

要点清单

直线与圆
题面信号：圆心到直线距离、弦长、位置关系
距离与半径比位置；弦长记半弦。
椭圆焦点弦
题面信号：过焦点、弦长、范围
设直线 + 韦达；或焦半径减计算。
双曲线 · 抛物线
题面信号：离心率、焦点弦、定义
离心率范围、焦点弦定值是高频。

专题巩固

读完通法后，在本专题内练一组题。仍停留在复习路径，不会跳进年级知识树。

本专题巩固（约 8 题）

本专题公式

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