高考总复习

解析几何

直线圆圆锥曲线——建系、联立、韦达与范围讨论。

这一块要会什么

高考高频考法：弦长、焦点弦、离心率范围、直线与圆锥曲线位置。通法是「设直线 → 联立 → 韦达 → 几何条件翻译成代数」。分值各年浮动，统计建设中。

通法

  • 联立标准动作

    何时用：直线与圆 / 圆锥曲线求交点、弦、位置关系

    1. 直线常设 x=my+tx=my+t 或 y=kx+by=kx+b（斜率不存在单独讨论）
    2. 代入曲线，整理成二次方程
    3. 用 Δ\Delta、韦达翻译几何条件

    易错：斜率不存在漏讨论；联立后漏 Δ\Delta。

  • 弦长与中点

    何时用：求弦长、中点弦、焦点弦

    1. 先分清中点弦还是焦点弦
    2. 弦长常用 1+k2∣x1−x2∣\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|（或对 yy）
    3. 中点弦用点差法；焦点弦优先定义 / 焦半径

    易错：中点弦与焦点弦方法混用。

  • 范围与离心率

    何时用：求 $e$ 的取值范围、参数范围

    1. 几何条件 → 关于 ee 或参数的不等式
    2. 补上定义域（0<e<10<e<1 / e>1e>1 等）
    3. 别忘 Δ≥0\Delta\ge 0

    易错：只写几何不等式，漏离心率定义域。

典例

椭圆 x24+y23=1\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1，过右焦点 FF 的弦被 FF 平分吗？说明理由，并写出焦点弦长公式思路。

  1. a2=4,b2=3,c=1a^2=4,b^2=3,c=1，右焦点 F(1,0)F(1,0)。焦点一般不在弦中点（除特殊情形），中点弦与焦点弦勿混淆。
  2. 焦点弦：设直线 x=my+1x=my+1，联立椭圆得关于 yy 的方程，用韦达求 ∣AB∣=1+m2∣y1−y2∣|AB|=\sqrt{1+m^2}|y_1-y_2|。
  3. 也可用焦半径：∣AF∣=a+exA|AF|=a+ex_A 等（椭圆），两焦半径相加即弦长。

收束：先分清「中点弦」还是「焦点弦」，再选点差法或焦半径/韦达。

要点清单

  • 直线与圆

    题面信号：圆心到直线距离、弦长、位置关系

    距离与半径比位置；弦长记半弦。

  • 椭圆焦点弦

    题面信号：过焦点、弦长、范围

    设直线 + 韦达；或焦半径减计算。

  • 双曲线 · 抛物线

    题面信号：离心率、焦点弦、定义

    离心率范围、焦点弦定值是高频。

专题巩固

本专题公式

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